Équations du second degré — Algèbre en Première OSE
En Première série OSE, l'algèbre occupe une place centrale : équations, inéquations et systèmes servent à modéliser des situations concrètes. Parmi toutes ces notions, l'équation du second degré est incontournable, car on la retrouve aussi bien en physique qu'en économie. Ici, nous nous concentrons sur une seule notion clé : le discriminant, l'outil qui permet de résoudre rapidement ces équations.
Si Δ > 0, il existe deux solutions ; si Δ = 0, une seule solution ; si Δ < 0, aucune solution réelle.
À Antsirabe, Ravo veut clôturer un jardin rectangulaire de 40 m2 dont la longueur dépasse la largeur de 3 m. En posant la largeur x, on obtient x2 + 3x − 40 = 0. Ici Δ = 32 − 4 × 1 × (−40) = 9 + 160 = 169. Comme √169 = 13, les solutions sont x = (−3 + 13)/2 = 5 et x = (−3 − 13)/2 = −8. La largeur étant positive, le jardin de Ravo mesure 5 m de large et 8 m de long.
À retenir
- Une équation du second degré s'écrit ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
- Le discriminant vaut Δ = b2 − 4ac.
- Δ > 0 : deux solutions ; Δ = 0 : une solution ; Δ < 0 : aucune solution réelle.
- Quand Δ ≥ 0, les solutions sont x = (−b ± √Δ)/(2a).
Exercice d'exemple
Voir la correction
On a a = 1, b = −5, c = 6. Le discriminant vaut Δ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Comme Δ > 0, il y a deux solutions : x = (5 + 1)/2 = 3 et x = (5 − 1)/2 = 2. Les solutions sont donc x = 2 et x = 3.
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