Analyse : fonctions numériques d'une variable réelle — Première OSE
En Première série OSE, l'analyse étudie comment une grandeur varie en fonction d'une autre. Comprendre le sens de variation d'une fonction est essentiel : cela permet de prévoir si une quantité augmente ou diminue, comme l'évolution d'un bénéfice ou d'une distance. Concentrons-nous ici sur une notion clé : la croissance et la décroissance.
Ravo, à Antsirabe, vend des sambos. Son bénéfice (en Ariary) suit la fonction f(x) = 200x − x2, où x est le nombre de sambos vendus. Pour x de 0 à 100, le bénéfice augmente (fonction croissante) ; au-delà de 100, il diminue (fonction décroissante), car le coût grimpe trop vite.
À retenir
- Une fonction est croissante quand f(x) augmente avec x, décroissante quand f(x) diminue.
- Le tableau de variation résume où la fonction croît, décroît et atteint son maximum ou minimum.
- Le sommet de f(x) = 200x − x2 est atteint en x = 100, où le bénéfice est maximal.
Exercice d'exemple
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f(50) = 200 × 50 − 502 = 10 000 − 2 500 = 7 500. f(150) = 200 × 150 − 1502 = 30 000 − 22 500 = 7 500. Les deux valeurs sont égales (7 500 Ariary), mais entre 50 et 150 la fonction a d'abord crû jusqu'au maximum en x = 100, puis décru : elle n'est donc pas monotone sur cet intervalle.
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