Le second degré en Première C : équations, inéquations et systèmes
En Première C, on apprend à résoudre les équations et inéquations du second degré, c'est-à-dire celles qui contiennent un terme en x2. Ces outils servent partout : calculer une trajectoire, optimiser un bénéfice à un marché d'Antananarivo ou modéliser une aire. La clé est un nombre appelé le discriminant.
Discriminant : pour l'équation a·x2 + b·x + c = 0 (avec a ≠ 0), on pose Δ = b2 − 4ac. Si Δ > 0, deux racines ; si Δ = 0, une racine double ; si Δ < 0, aucune racine réelle.
Exemple
Ravo, à Antsirabe, résout x2 − 5x + 6 = 0. Il calcule Δ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Comme Δ > 0, il y a deux racines : x = (5 − 1)/2 = 2 et x = (5 + 1)/2 = 3.
À retenir
- Pour a·x2 + b·x + c = 0, on calcule d'abord Δ = b2 − 4ac.
- Le nombre de racines dépend du signe de Δ : deux si Δ > 0, une si Δ = 0, aucune si Δ < 0.
- Quand Δ > 0, les racines sont x = (−b − √Δ)/(2a) et x = (−b + √Δ)/(2a).
Exercice d'exemple
Exercice : Soa veut résoudre x2 − 7x + 10 = 0. Calcule le discriminant puis donne les deux racines.
Voir la correction
Δ = (−7)2 − 4 × 1 × 10 = 49 − 40 = 9. Comme Δ > 0, √Δ = 3. Les racines sont x = (7 − 3)/2 = 2 et x = (7 + 3)/2 = 5.
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