Équations, inéquations et systèmes en Première S
Le thème des équations, inéquations et systèmes est central en Première S. Une part importante concerne l'équation du second degré, qui apparaît dès qu'une grandeur dépend du carré d'une inconnue : une surface, une trajectoire, un bénéfice. Savoir la résoudre est indispensable pour la physique et l'économie.
À Antsirabe, Soa veut clôturer un jardin rectangulaire de 60 m2 dont la longueur dépasse la largeur de 4 m. Si x est la largeur, alors x(x + 4) = 60, soit x2 + 4x − 60 = 0. Ici Δ = 42 − 4 × 1 × (−60) = 16 + 240 = 256. Comme Δ > 0, il y a deux racines : x = (−4 + 16)/2 = 6 et x = (−4 − 16)/2 = −10. La largeur étant positive, le jardin mesure 6 m sur 10 m.
À retenir
- Le discriminant d'une équation du second degré ax2 + bx + c = 0 est Δ = b2 − 4ac.
- Si Δ > 0 : deux racines x = (−b ± √Δ)/(2a). Si Δ = 0 : une racine double x = −b/(2a). Si Δ < 0 : aucune solution réelle.
- On garde toujours la ou les solutions compatibles avec le contexte (par exemple une longueur positive).
Exercice d'exemple
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On a a = 1, b = −5, c = 6. Donc Δ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Comme Δ > 0, il y a deux racines : x = (5 + 1)/2 = 3 et x = (5 − 1)/2 = 2. Les solutions sont 2 et 3.
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