Les équations du second degré — Première L
Une équation du second degré apparaît dès qu'une quantité inconnue est élevée au carré : aire d'un terrain, trajectoire, calcul de bénéfice. En Première L, savoir la résoudre est un outil simple et puissant pour modéliser des situations de la vie quotidienne à Madagascar.
À Antsirabe, Ravo veut clôturer un jardin rectangulaire dont la longueur dépasse la largeur de 2 m, pour une aire de 15 m2. Si x est la largeur, alors x(x + 2) = 15, soit x2 + 2x − 15 = 0.
Pour résoudre ax2 + bx + c = 0, on calcule le discriminant Δ = b2 − 4ac. Son signe indique le nombre de solutions : si Δ > 0, deux solutions ; si Δ = 0, une solution double ; si Δ < 0, aucune solution réelle. Quand Δ ≥ 0, les solutions sont x = (−b − √Δ) / (2a) et x = (−b + √Δ) / (2a).
À retenir
- Une équation du second degré s'écrit ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
- On calcule le discriminant Δ = b2 − 4ac.
- Le signe de Δ donne le nombre de solutions : 2 si Δ > 0, 1 si Δ = 0, 0 si Δ < 0.
Exercice d'exemple
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Ici a = 1, b = 2, c = −15. On calcule Δ = 22 − 4 × 1 × (−15) = 4 + 60 = 64. Comme Δ > 0, il y a deux solutions : x = (−2 − 8) / 2 = −5 et x = (−2 + 8) / 2 = 3. Une largeur ne pouvant être négative, on garde x = 3 m. La largeur est donc 3 m et la longueur 5 m.
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