Équations du second degré et discriminant — Première D
En Première D, le second degré est partout : trajectoire d'un ballon, calcul d'aires, optimisation d'un budget. Savoir résoudre une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 est une compétence centrale. L'outil clé pour cela s'appelle le discriminant, noté Δ (delta).
Trois cas se présentent. Si Δ > 0, il y a deux solutions : x = (−b − √Δ)/(2a) et x = (−b + √Δ)/(2a). Si Δ = 0, une seule solution : x = −b/(2a). Si Δ < 0, aucune solution réelle.
À Antsirabe, Ravo veut clôturer un jardin rectangulaire d'aire 12 m2, dont la longueur dépasse la largeur de 1 m. Si x est la largeur, alors x(x + 1) = 12, soit x2 + x − 12 = 0. On calcule Δ = 12 − 4 × 1 × (−12) = 1 + 48 = 49. Comme Δ > 0, √49 = 7, donc x = (−1 + 7)/2 = 3. La largeur est 3 m et la longueur 4 m.
À retenir
- Le discriminant d'une équation ax2 + bx + c = 0 est Δ = b2 − 4ac.
- Δ > 0 donne deux solutions, Δ = 0 donne une solution, Δ < 0 n'en donne aucune dans les réels.
- Les solutions s'obtiennent avec la formule x = (−b ± √Δ)/(2a).
Exercice d'exemple
Voir la correction
On a a = 1, b = −5, c = 6. Le discriminant vaut Δ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Comme Δ > 0 et √1 = 1, on obtient x = (5 − 1)/2 = 2 et x = (5 + 1)/2 = 3. Les solutions sont donc 2 et 3.
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