Le nombre dérivé : étude des fonctions numériques en Première C
L'étude des fonctions numériques occupe une place centrale en Première C. Parmi ses notions, le nombre dérivé permet de mesurer comment une fonction varie en un point précis. C'est l'outil qui sert, par exemple, à comprendre la vitesse instantanée d'un taxi-be quittant Antananarivo ou la rapidité d'une variation de prix.
Nombre dérivé : le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite quand h tend vers 0 du taux d'accroissement (f(a+h) − f(a))/h, lorsque cette limite existe.
Exemple
Soit f(x) = x2, modélisant l'aire d'un terrain carré à Antsirabe. En a = 3, le taux entre 3 et 3+h vaut ((3+h)2 − 9)/h = (6h + h2)/h = 6 + h. Quand h → 0, ce taux tend vers 6, donc f'(3) = 6.
À retenir
- Le taux d'accroissement de f entre a et a+h est (f(a+h) − f(a))/h.
- Le nombre dérivé f'(a) est la limite de ce taux quand h → 0.
- f'(a) est aussi la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Exercice d'exemple
Exercice : Soit f(x) = x2. Ravo affirme que f'(5) = 10. A-t-il raison ? Justifie.
Voir la correction
Le taux entre 5 et 5+h vaut ((5+h)2 − 25)/h = (10h + h2)/h = 10 + h. Quand h → 0, la limite est 10. Donc f'(5) = 10 : Ravo a raison.