Géométrie plane et dans l'espace en Première S : le produit scalaire
En Première S, la géométrie devient un outil de calcul puissant grâce au produit scalaire. Cet outil permet de mesurer des angles, de prouver que deux droites sont perpendiculaires et de calculer des distances. À Antananarivo, un géomètre ou un urbaniste s'en sert pour vérifier que les angles d'un terrain sont droits avant de bâtir.
Ravo, à Antsirabe, modélise un terrain par les vecteurs u(3 ; 4) et v(8 ; −6). Il calcule u·v = 3×8 + 4×(−6) = 24 − 24 = 0. Le résultat étant nul, les deux côtés du terrain sont perpendiculaires : l'angle est bien droit.
À retenir
- Dans un repère orthonormé, u·v = xx' + yy'.
- Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
- Le produit scalaire sert à calculer des angles et à démontrer des perpendicularités.
Exercice d'exemple
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On calcule u·v = 2×(−10) + 5×4 = −20 + 20 = 0. Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs u et v sont orthogonaux.
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