Limites, continuité et dérivabilité (Première D)
En Première D, l'étude des limites, de la continuité et de la dérivabilité prépare l'analyse, l'un des piliers du baccalauréat scientifique. Le cœur de ce thème est le nombre dérivé : il mesure la vitesse à laquelle une fonction varie en un point précis. C'est l'outil qui permet, par exemple, de décrire le mouvement d'un objet ou la croissance d'une quantité.
À Antsirabe, Ravo mesure la distance parcourue par un cycliste : f(t) = t2 (en mètres, t en secondes). Pour trouver sa vitesse à t = 3 s, on calcule le taux de variation entre 3 et 3+h : [(3+h)2 − 9] / h = (6h + h2) / h = 6 + h. Quand h tend vers 0, ce taux tend vers 6. Donc f'(3) = 6 : la vitesse instantanée du cycliste est de 6 m/s.
À retenir
- Le taux de variation [f(a+h) − f(a)] / h mesure une variation moyenne entre a et a+h.
- Le nombre dérivé f'(a) est la limite de ce taux quand h tend vers 0.
- f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Exercice d'exemple
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Taux de variation entre 2 et 2+h : [(2+h)2 − 4] / h = (4 + 4h + h2 − 4) / h = (4h + h2) / h = 4 + h. Quand h tend vers 0, 4 + h tend vers 4. Donc f'(2) = 4.
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