Limites, continuité et dérivée en Première A : le nombre dérivé
En Première A, l'étude des fonctions ne se limite plus à calculer des images : on cherche à mesurer comment une grandeur varie. Cette idée est essentielle pour comprendre une vitesse, une croissance ou l'évolution d'un prix. Dans cet aperçu, nous nous concentrons sur une seule notion clé : le nombre dérivé.
À Antsirabe, Ravo observe l'eau d'un réservoir dont le volume suit f(t) = t2 (en litres, t en minutes). Entre t = 3 et t = 3 + h, le taux vaut ((3 + h)2 − 9) / h = (6h + h2) / h = 6 + h. Quand h → 0, on obtient f '(3) = 6 : l'eau monte de 6 litres par minute à cet instant.
À retenir
- Le taux d'accroissement entre a et a + h s'écrit (f(a + h) − f(a)) / h.
- Le nombre dérivé f '(a) est la limite de ce taux quand h → 0.
- f '(a) se lit comme la vitesse de variation et comme le coefficient directeur de la tangente en a.
Exercice d'exemple
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(f(2 + h) − f(2)) / h = ((2 + h)2 − 4) / h = (4h + h2) / h = 4 + h. Quand h → 0, on obtient f '(2) = 4.
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