Fonctions dérivées et étude de fonctions — Terminale A
En Terminale A, l'analyse permet d'étudier comment une grandeur varie : un coût, un bénéfice, une distance. La dérivée mesure cette variation à chaque instant. Elle est très utile, par exemple, pour savoir à quel moment le bénéfice d'un petit commerce d'Antananarivo est maximal.
Ravo vend des sambos à Antsirabe. Son bénéfice (en Ariary) suit f(x) = -x2 + 40x, où x est le nombre de sambos. La dérivée est f'(x) = -2x + 40. Elle s'annule pour x = 20 : le bénéfice est maximal à 20 sambos vendus.
Courbe de f(x) = -x² + 40x : la tangente est horizontale au maximum (x = 20), où f'(x) = 0.
À retenir
- f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
- Si f'(x) > 0, la fonction est croissante ; si f'(x) < 0, elle est décroissante.
- Un maximum ou un minimum se trouve souvent là où la dérivée s'annule en changeant de signe.
Exercice d'exemple
Voir la correction
f'(x) = 2x - 6. On résout f'(x) = 0 : 2x - 6 = 0, donc x = 3. Pour x < 3, f'(x) < 0 (décroissante) ; pour x > 3, f'(x) > 0 (croissante). La fonction admet donc un minimum en x = 3.
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