La dérivée est l'un des outils les plus utiles de l'analyse en Terminale : elle sert à savoir comment une fonction varie, à trouver ses maximums et ses minimums, et à tracer sa courbe. Voici l'essentiel, court et clair. Les compléments (exemple détaillé, erreurs, exercice) sont à ouvrir seulement si tu en as besoin.
- Comprendre le nombre dérivé et la fonction dérivée
- Connaître les dérivées des fonctions usuelles et les règles de calcul
- Étudier les variations d'une fonction grâce au signe de sa dérivée
L'essentiel
La dérivée mesure la vitesse de variation d'une fonction. Si f'(x) est positive, la fonction monte ; si f'(x) est négative, elle descend ; si f'(x) s'annule en changeant de signe, on a un maximum ou un minimum.
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. La fonction dérivée f' associe à chaque x ce nombre dérivé.
Les dérivées à connaître
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xn | n xn-1 |
| 1/x | -1/x2 |
| √x | 1/(2√x) |
| ln(x) | 1/x |
| ex | ex |
Les règles de calcul
- (u + v)' = u' + v'
- (k u)' = k u' (k constante)
- (u v)' = u'v + uv'
- (u / v)' = (u'v - uv') / v2
La méthode en 3 étapes
- Calculer la dérivée f'(x).
- Étudier son signe : résoudre f'(x) = 0, puis déterminer quand f'(x) est positive ou négative.
- Dresser le tableau de variations : f monte là où f'(x) est positive, descend là où elle est négative.
À retenir
- f'(x) positive : la fonction croît. f'(x) négative : la fonction décroît.
- Un extremum (maximum ou minimum) se trouve là où f'(x) s'annule en changeant de signe.
- La tangente en a a pour coefficient directeur f'(a).
Exemple détaillé, entièrement résolu
Un marchand de sambos à Antananarivo estime que son bénéfice (en milliers d'ariary) selon le nombre x de dizaines vendues est : f(x) = -2x2 + 12x - 10. Combien doit-il en vendre pour gagner le plus ?
1. Dérivée : f'(x) = -4x + 12.
2. Signe : f'(x) = 0 donne x = 3. Pour x plus petit que 3, f'(x) est positive (le bénéfice monte) ; pour x plus grand que 3, f'(x) est négative (il baisse).
3. Conclusion : le bénéfice est maximal en x = 3, soit 30 sambos. f(3) = -18 + 36 - 10 = 8, donc un bénéfice maximal de 8 000 ariary.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre f et f' (par exemple étudier le signe de f au lieu de f').
- Oublier la règle du produit ou du quotient et dériver "terme à terme".
- Écrire "f'(x) = 0 donc maximum" sans vérifier le changement de signe de f'.
- Se tromper de signe dans le tableau de variations.
Questions fréquentes (FAQ)
À quoi sert une dérivée ?
À étudier les variations d'une fonction, à trouver ses maximums et minimums (optimisation), et à déterminer l'équation d'une tangente.
Comment savoir si une fonction est croissante ?
On calcule sa dérivée : la fonction est croissante sur les intervalles où f'(x) est positive.
Que signifie f'(a) = 0 ?
La tangente en a est horizontale. C'est souvent un maximum ou un minimum, à condition que f' change de signe en a.
S'entraîner : exercice corrigé
Exercice. Étudie les variations de la fonction f(x) = x3 - 3x.
Correction. f'(x) = 3x2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Donc f'(x) = 0 pour x = -1 et x = 1.
- Sur les intervalles où x est plus petit que -1 ou plus grand que 1, f'(x) est positive : f croît.
- Entre -1 et 1, f'(x) est négative : f décroît.
Il y a donc un maximum local en x = -1, avec f(-1) = -1 + 3 = 2, et un minimum local en x = 1, avec f(1) = 1 - 3 = -2.