Dénombrement, probabilités et variable aléatoire — Mathématiques Terminale D

Le dénombrement, les probabilités et les variables aléatoires forment un chapitre central du programme de Terminale D à Madagascar, présent chaque année au baccalauréat. Ces trois notions s'enchaînent naturellement : le dénombrement te permet de compter le nombre de façons de réaliser une expérience, la probabilité mesure la chance qu'un événement se réalise, et la variable aléatoire relie chaque résultat possible à un nombre, ce qui permet ensuite de calculer une espérance et une dispersion. Que ce soit pour un tirage de tombola à Antsirabe, la composition d'un comité scolaire à Toliara ou l'analyse d'un jeu de hasard, ces outils te donnent une méthode rigoureuse pour raisonner sur l'incertain. Ce cours te présente les définitions clés, les formules indispensables, un exemple résolu et un exercice corrigé pour maîtriser ce chapitre avant le BAC.

• Distinguer et calculer une permutation, un arrangement et une combinaison selon la situation.
• Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité, avec ou sans remise.
• Construire la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète et vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
• Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire.

Définitions clés

Avant de calculer, pose des bases solides : voici les quatre notions fondamentales de ce chapitre.

Le dénombrement

Le dénombrement consiste à déterminer avec exactitude le nombre d'éléments d'un ensemble fini, ou le nombre de façons de réaliser une expérience, sans devoir lister tous les cas un par un. Deux questions guident toujours le choix de la méthode : l'ordre des éléments compte-t-il, et un même élément peut-il être choisi plusieurs fois ? La réponse à ces deux questions détermine si tu dois utiliser une permutation, un arrangement ou une combinaison.

La probabilité

Une expérience aléatoire possède un univers, noté Ω, qui rassemble toutes les issues possibles. Un événement est un sous-ensemble de cet univers. La probabilité P(A) d'un événement A mesure sa chance de se réaliser : c'est un nombre compris entre 0 et 1, avec P(Ω) = 1. Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, on parle d'équiprobabilité, et P(A) est alors égal au nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

La variable aléatoire

Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. L'ensemble des valeurs prises par X s'appelle l'univers-image. À chaque valeur x_i, on associe sa probabilité p_i = P(X = x_i) : l'ensemble de ces couples (x_i ; p_i) constitue la loi de probabilité de X, et la somme de toutes les probabilités p_i vaut toujours 1.

L'espérance mathématique

L'espérance E(X) d'une variable aléatoire est la valeur moyenne que prend X si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois. Elle se calcule en multipliant chaque valeur x_i par sa probabilité p_i, puis en additionnant tous ces produits. Deux autres grandeurs complètent cette étude : la variance V(X), qui mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance, et l'écart-type σ(X), racine carrée de la variance.

Méthodes et formules à connaître

Voici les formules à maîtriser pour le BAC. Le premier tableau résume les situations de dénombrement les plus fréquentes ; le second rassemble les grandeurs qui caractérisent une variable aléatoire.

Dénombrer selon l'ordre et la répétition

Retiens le lien entre les deux notions : A(n,p) = p! × C(n,p), car ordonner un groupe de p éléments multiplie le nombre de choix par p!.

Caractériser une variable aléatoire

Exemple concret résolu à Madagascar

Pour la fête de l'Indépendance du 26 juin, une association d'Antsirabe organise une petite tombola avec 12 tickets numérotés, dont 3 seulement sont gagnants. Tojo achète 2 tickets en même temps, au hasard, parmi les 12. On note X le nombre de tickets gagnants parmi les 2 tickets de Tojo. Étudions cette situation étape par étape.

Étape 1 : compter les tirages possibles

Les 2 tickets sont tirés simultanément, donc l'ordre n'a pas d'importance, et sans remise : c'est une combinaison. Le nombre total de tirages possibles est C(12,2) = (12 × 11) / (2 × 1) = 132 / 2 = 66.

Étape 2 : établir la loi de probabilité de X

X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2. On combine les tickets gagnants (3 au total) et les tickets perdants (9 au total) selon la valeur de X :

Vérification indispensable : en ramenant toutes les probabilités au dénominateur commun 22, on obtient 12/22 + 9/22 + 1/22 = 22/22 = 1. La loi de probabilité est donc correcte.

Étape 3 : calculer l'espérance et la variance

E(X) = 0 × (12/22) + 1 × (9/22) + 2 × (1/22) = (0 + 9 + 2) / 22 = 11/22 = 0,5. En moyenne, Tojo peut donc espérer 0,5 ticket gagnant sur ses 2 tickets, ce qui correspond bien à la proportion de tickets gagnants dans l'urne, soit un quart, multipliée par les 2 tickets tirés.

Pour la variance, calcule d'abord Σ x_i² p_i = 0² × (12/22) + 1² × (9/22) + 2² × (1/22) = 0 + 9/22 + 4/22 = 13/22. On obtient V(X) = 13/22 - (0,5)² = 13/22 - 1/4 = 26/44 - 11/44 = 15/44 ≈ 0,34, puis σ(X) = √(15/44) ≈ 0,58.

Exercice et correction détaillée

Énoncé. Au lycée de Toliara, le conseil des élèves doit former un comité de 3 membres parmi 9 candidats : 5 filles et 4 garçons.

1. Combien de comités différents de 3 membres peut-on former, si les 3 rôles sont identiques, sans aucune hiérarchie ?
2. Combien de comités différents peut-on former si l'on doit en plus désigner, parmi ces 3 membres, un président, un vice-président et un trésorier, soit trois rôles distincts ?
3. Le comité de 3 membres est en réalité tiré entièrement au hasard parmi les 9 candidats. On note X le nombre de filles dans le comité. Détermine la loi de probabilité de X, puis calcule E(X).

Correction

1) Comité sans hiérarchie. L'ordre n'a pas d'importance : c'est une combinaison de 3 candidats parmi 9. C(9,3) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 504 / 6 = 84 comités possibles.

2) Comité avec rôles distincts. Ici l'ordre compte, puisque chaque rôle est différent : c'est un arrangement de 3 candidats parmi 9. A(9,3) = 9 × 8 × 7 = 504 façons. On retrouve ce résultat autrement : 84 comités possibles, multipliés par 3! = 6 façons d'attribuer les 3 rôles à l'intérieur de chaque comité, soit 84 × 6 = 504.

3) Loi de probabilité de X. Le nombre total de comités possibles est C(9,3) = 84, déjà calculé à la question 1. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.

Vérification avec le dénominateur commun 42 : 2/42 + 15/42 + 20/42 + 5/42 = 42/42 = 1. La loi est correcte.

Espérance : E(X) = 0 × (2/42) + 1 × (15/42) + 2 × (20/42) + 3 × (5/42) = (0 + 15 + 40 + 15) / 42 = 70/42 = 5/3 ≈ 1,67. Le comité compte donc en moyenne 5/3 filles, ce qui correspond exactement à la proportion de filles parmi les candidats, soit 5/9, multipliée par la taille du comité, soit 3 membres : 3 × 5/9 = 5/3. Ce calcul croisé confirme le résultat.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre arrangement et combinaison. Demande-toi toujours si l'ordre compte. Un tirage simultané, une poignée d'éléments, est presque toujours une combinaison ; un tirage successif avec des rôles ou des positions distinctes est un arrangement.
• Oublier de vérifier que Σ p_i = 1. Cette vérification est obligatoire avant tout calcul d'espérance : si la somme des probabilités ne vaut pas 1, la loi de probabilité contient une erreur de calcul.
• Confondre variance et écart-type. La variance V(X) et l'écart-type σ(X) ne sont pas la même grandeur : σ(X) = √V(X). N'arrête jamais le calcul à la variance si l'énoncé demande l'écart-type.
• Mélanger tirage avec remise et tirage sans remise. Avec remise, la composition de l'urne ne change pas : on utilise n^p ou des probabilités indépendantes. Sans remise, elle change à chaque tirage : on utilise les combinaisons ou un arbre pondéré.
• Oublier de soustraire l'intersection dans une réunion. La formule P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) ne perd son dernier terme que si A et B sont incompatibles.

Foire aux questions

Quelle est la vraie différence entre un arrangement et une combinaison ?

Dans un arrangement, l'ordre des éléments choisis compte : choisir Ravo puis Hery n'est pas la même chose que choisir Hery puis Ravo. Dans une combinaison, seul l'ensemble des éléments compte, jamais leur ordre. Un tirage simultané se traite donc avec des combinaisons, alors qu'un classement ou une attribution de rôles distincts se traite avec des arrangements.

Comment savoir si je dois utiliser une permutation, un arrangement ou une combinaison ?

Pose-toi deux questions dans l'ordre. Utilises-tu tous les éléments de l'ensemble, ou seulement une partie ? Si tu utilises les n éléments et que l'ordre compte, c'est une permutation, n!. Si tu en choisis p parmi n et que l'ordre compte, c'est un arrangement. Si tu en choisis p parmi n et que l'ordre ne compte pas, c'est une combinaison.

Que représente concrètement l'espérance mathématique ?

L'espérance E(X) représente la valeur moyenne que tu obtiendrais si tu répétais l'expérience un grand nombre de fois. Ce n'est pas forcément une valeur que X peut prendre : un comité ne compte jamais 5/3 de fille. Mais elle donne une tendance fiable sur le long terme, utile pour comparer des jeux ou des stratégies.

Pourquoi la somme des probabilités d'une variable aléatoire doit-elle toujours valoir 1 ?

Parce que la variable aléatoire X prend nécessairement l'une de ses valeurs possibles à chaque réalisation de l'expérience. Les événements {X = x₁}, {X = x₂}, … forment donc une partition complète de l'univers. Additionner toutes leurs probabilités revient à additionner la probabilité de l'univers entier, qui vaut 1 par définition.

À retenir

1. Dénombrement : permutation n! pour tous les éléments quand l'ordre compte ; arrangement A(n,p) = n!/(n-p)! quand l'ordre compte pour p parmi n ; combinaison C(n,p) = n!/[p!(n-p)!] quand l'ordre est indifférent.
2. Probabilité en équiprobabilité : P(A) = cas favorables / cas possibles, avec 0 ≤ P(A) ≤ 1 et P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
3. Tirage avec remise : événements indépendants, formule en n^p. Tirage sans remise : la composition de l'urne change, on utilise les combinaisons ou un arbre pondéré.
4. Loi de probabilité d'une variable aléatoire : Σ p_i = 1, à vérifier systématiquement avant tout autre calcul.
5. Espérance E(X) = Σ x_i p_i ; variance V(X) = Σ x_i² p_i - [E(X)]² ; écart-type σ(X) = √V(X).
6. Pour un tirage sans remise dans une population à deux catégories, l'espérance retrouve toujours la proportion attendue : E(X) = taille du tirage × proportion favorable dans la population.