Étude et représentation graphique de fonctions — Terminale OSE
Étudier une fonction, c'est comprendre comment elle augmente ou diminue avant de tracer sa courbe avec précision. En Terminale OSE, l'outil central est la dérivée : son signe indique le sens de variation. C'est utile pour modéliser un coût, un bénéfice ou une trajectoire dans la vie réelle.
À Antsirabe, Ravo modélise son bénéfice par f(x) = -x2 + 4x (en milliers d'Ariary). On dérive : f'(x) = -2x + 4. f'(x) = 0 pour x = 2, donc le bénéfice est maximal à x = 2, avec f(2) = 4, soit 4 000 Ariary.
Courbe de f(x) = -x² + 4x : sommet (maximum) au point (2 ; 4).
À retenir
- On calcule la dérivée f'(x) pour étudier les variations.
- f'(x) ≥ 0 : fonction croissante ; f'(x) ≤ 0 : fonction décroissante.
- Un point où f'(x) = 0 et où le signe change donne un extremum (maximum ou minimum).
- Le tableau de variations guide le tracé soigné de la courbe dans un repère.
Exercice d'exemple
Voir la correction
f'(x) = 2x - 6. On résout f'(x) = 0 : 2x - 6 = 0, donc x = 3. Pour x < 3, f'(x) < 0 (décroissante) ; pour x > 3, f'(x) > 0 (croissante) : c'est donc un minimum. f(3) = 9 - 18 + 5 = -4. Le minimum vaut -4, atteint en x = 3.
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