La fonction exponentielle — Maths Terminale OSE
Dans le thème « Fonction exponentielle, fonctions puissances et suites numériques », la fonction exponentielle occupe une place centrale en Terminale OSE. Elle modélise toutes les croissances rapides : épargne à intérêts composés, multiplication de bactéries, évolution d'une population. À Antananarivo comme partout, comprendre cette fonction aide à anticiper des phénomènes qui augmentent de plus en plus vite.
Ravo place 100 000 Ariary à Antsirabe. Le capital suit une croissance modélisée par C(t) = 100000 × e0,05t. Comme ex > 0 et exp est strictement croissante, C(t) augmente sans cesse : au bout de t = 10 mois, C(10) = 100000 × e0,5 ≈ 164 872 Ariary.
Courbe de la fonction exponentielle : toujours positive, croissante, passant par (0 ; 1).
À retenir
- exp est définie sur ℝ, strictement croissante, et exp(x) > 0 pour tout x.
- exp(0) = 1 et exp est égale à sa dérivée : exp' = exp.
- Propriétés clés : ea × eb = ea+b et (ea)n = ena.
- L'exponentielle modélise les croissances rapides (épargne, populations).
Exercice d'exemple
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A = e3 × e-1 = e3+(-1) = e2. Comme 2 > 0 et exp est croissante avec e0 = 1, on a e2 > 1. Donc A > 1.
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