La fonction exponentielle (Terminale C)
En Terminale C, la fonction exponentielle est l'outil qui décrit toutes les croissances « proportionnelles à elles-mêmes » : population, capital placé, désintégration. Elle est intimement liée aux équations différentielles, un chapitre central du programme. Ici, on se concentre sur une seule notion clé : sa propriété fondamentale.
À Antsirabe, Ravo place 100 000 Ariary à intérêts continus de taux 5 % par an. Le capital suit C(t) = 100 000 × e0,05t. Au bout de 2 ans : C(2) = 100 000 × e0,1 ≈ 110 517 Ariary.
Courbe de la fonction exponentielle : croissante, toujours positive, passant par (0 ; 1).
À retenir
- La fonction exponentielle vérifie ex > 0 pour tout x, et elle est strictement croissante sur ℝ.
- Propriété algébrique fondamentale : ea × eb = ea+b.
- Elle est la solution de l'équation différentielle y′ = ky vérifiant y = C ekx.
Exercice d'exemple
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Nombre initial : N(0) = 500 e0 = 500 criquets. Pour le doublement : 500 e0,2t = 1000, donc e0,2t = 2, soit 0,2t = ln 2. Ainsi t = ln 2 / 0,2 ≈ 0,693 / 0,2 ≈ 3,47 jours.
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