Fonctions logarithme népérien et exponentielle — Terminale D
En Terminale D, le logarithme népérien et l'exponentielle sont deux fonctions essentielles, liées l'une à l'autre. On les retrouve partout : croissance d'une population à Antananarivo, calcul d'intérêts en Ariary, ou décroissance radioactive. Maîtriser leurs propriétés permet de résoudre des équations qui échappent au calcul ordinaire.
Ravo place 100 000 Ariary à intérêts continus. Il cherche le temps t tel que la somme double, donc e0,05t = 2. En passant au ln : 0,05t = ln(2) ≈ 0,69, d'où t ≈ 13,9 ans.
Les courbes de exp et ln sont symétriques par rapport à la droite y = x.
À retenir
- ln est définie pour x > 0 ; exp est définie sur tout ℝ et toujours positive.
- Elles sont réciproques : ln(ex) = x et eln(x) = x.
- Propriété clé : ln(a × b) = ln(a) + ln(b) et ln(a/b) = ln(a) − ln(b).
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
Exercice d'exemple
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Condition : x > 2. On utilise ln(a) + ln(b) = ln(a × b) : ln(x(x − 2)) = ln(3), donc x(x − 2) = 3, soit x2 − 2x − 3 = 0. Les solutions sont x = 3 et x = −1. Seul x = 3 vérifie x > 2. Donc x = 3.
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