Fonctions primitives et calcul d'aires — Mathématiques Terminale A

Tu sais déjà calculer la dérivée d'une fonction. En Terminale A, tu apprends maintenant à faire le chemin inverse : retrouver une fonction à partir de sa dérivée. Cette fonction s'appelle une primitive, et c'est l'un des outils les plus utiles du programme, car elle permet de calculer l'aire d'une surface délimitée par une courbe, pas seulement par des droites. Que tu veuilles estimer la superficie d'une parcelle de riz bordée par un canal à Marovoay, la surface d'un massif dans une pépinière de Fianarantsoa, ou simplement aborder sereinement l'épreuve de mathématiques du baccalauréat, cette notion revient sans cesse. Dans ce cours complet, tu vas apprendre la définition d'une primitive, mémoriser un formulaire des primitives usuelles, comprendre pourquoi une fonction possède une infinité de primitives, puis calculer de vraies aires à partir d'exemples résolus pas à pas, avant de t'entraîner toi-même.

• Comprendre ce qu'est une primitive et savoir vérifier si une fonction donnée en est une.
• Retrouver une primitive à l'aide du formulaire des primitives usuelles.
• Calculer l'aire d'une surface délimitée par une courbe grâce à une primitive.
• Appliquer cette méthode à des situations concrètes malgaches, en évitant les erreurs les plus fréquentes.

1. Qu'est-ce qu'une primitive ?

Dériver une fonction, c'est calculer sa vitesse de variation en chaque point. Chercher une primitive, c'est l'inverse : partir d'une fonction f et trouver une fonction F dont la dérivée redonne exactement f.

Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si, pour tout x de I, F'(x) = f(x).

Exemple : pour f(x) = 2x, la dérivée de x² étant 2x, F(x) = x² est une primitive de f. Mais F(x) = x² + 5 convient aussi, car la dérivée d'une constante est nulle. Plus généralement, toute fonction F(x) = x² + k, avec k réel quelconque, est une primitive de f.

C'est une propriété générale : si f admet une primitive F sur un intervalle I, elle en admet une infinité, toutes de la forme F(x) + k. Deux primitives d'une même fonction, sur un même intervalle, diffèrent donc toujours d'une constante.

2. Calculer une primitive : formulaire et méthodes

Pour trouver une primitive, inutile de deviner : un formulaire de primitives usuelles, à connaître par cœur, correspond exactement à l'inverse des formules de dérivation vues en Première.

Le formulaire des primitives usuelles

N'oublie jamais d'ajouter « + k » : le tableau donne une seule primitive parmi l'infinité possible.

Somme et multiple d'une fonction

Deux règles permettent de trouver une primitive de presque tous les polynômes du programme :

• Si U est une primitive de u et V une primitive de v, alors U + V est une primitive de u + v.
• Si U est une primitive de u et k un réel, alors kU est une primitive de ku.

Exemple : pour f(x) = 3x² - 4x + 5, on traite chaque terme : 3 × (x³/3) = x³ pour 3x² ; -4 × (x²/2) = -2x² pour -4x ; 5x pour la constante. D'où F(x) = x³ - 2x² + 5x (+ k).

3. De la primitive à l'aire sous une courbe

Voici le résultat le plus important du chapitre. Sur un repère, la courbe d'une fonction f, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b délimitent une surface. Quand f est positive sur [a ; b], l'aire de cette surface, en unités d'aire, se calcule ainsi :

Aire = F(b) - F(a), où F est n'importe quelle primitive de f.

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : avec F(x) + k, le calcul devient [F(b) + k] - [F(a) + k] = F(b) - F(a). La constante k disparaît toujours dans la soustraction.

Tu croiseras aussi la notation ∫_a^b f(x) dx, qui se lit « intégrale de f entre a et b » et se calcule de la même façon.

Attention : cette formule suppose f positive (ou nulle) sur tout [a ; b]. Si f change de signe, découpe l'intervalle aux points où f s'annule et travaille sur chaque morceau séparément : une aire est toujours positive, alors que F(b) - F(a) peut devenir négatif si f est négative.

4. Exemple résolu : une parcelle de riz à Marovoay

Dans la région de Marovoay, une coopérative rizicole possède une parcelle en bordure d'un canal d'irrigation. Sur le plan, chaque unité du repère représente 10 mètres. Le bord du canal suit la courbe de f(x) = 4x - x², pour x entre 0 et 4 (en unités), le bord opposé, rectiligne, correspondant à l'axe des abscisses. La coopérative veut connaître la superficie exacte de la parcelle, en mètres carrés, pour son titre foncier.

Étape 1, le signe de f. f(x) = 4x - x² = x(4 - x) s'annule en x = 0 et x = 4, et reste positif entre les deux (produit de deux facteurs positifs). Le calcul d'aire par F(b) - F(a) est donc valable.

Étape 2, une primitive. Une primitive de 4x est 2x² ; une primitive de -x² est -x³/3. Donc F(x) = 2x² - x³/3 (on vérifie F'(x) = 4x - x² = f(x)).

Étape 3, l'aire. F(4) = 2 × 4² - 4³/3 = 32 - 64/3 = 32/3. F(0) = 0. L'aire vaut F(4) - F(0) = 32/3 unités d'aire, soit environ 10,67.

Étape 4, conversion. Chaque unité représentant 10 m, une unité d'aire vaut 10 × 10 = 100 m², soit 1 are. La superficie de la parcelle est donc 32/3 × 100 ≈ 1066,67 m², soit environ 10,67 ares, un peu plus de 0,1 hectare.

5. À toi de jouer : exercice et correction

Énoncé. Dans une pépinière de Fianarantsoa, une zone de plantations est délimitée d'un côté par une allée rectiligne et de l'autre par une bordure incurvée. Sur un plan gradué en mètres, cette bordure suit la courbe de f(x) = 6x - x², pour x entre 0 et 6, l'allée correspondant à l'axe des abscisses. Calcule l'aire de la zone de plantations, en mètres carrés.

Erreurs fréquentes

• Oublier la constante « + k ». F(x) = x² est une primitive de f(x) = 2x, mais pas « la » primitive : il en existe une infinité, toutes de la forme x² + k.
• Se tromper de signe. Une primitive de f(x) = -x² est -x³/3, pas x³/3.
• Oublier de diviser par (n + 1). Une primitive de x³ est x⁴/4, pas x⁴ : on augmente la puissance de 1, mais il faut aussi diviser par elle.
• Confondre dérivée et primitive. Dériver x³ donne 3x² ; en chercher une primitive donne x⁴/4. Ce sont deux opérations inverses.
• Calculer F(b) - F(a) sans vérifier le signe de f. Si f change de signe sur [a ; b], le résultat ne correspond plus à une aire réelle : il faut découper l'intervalle où f s'annule.

FAQ

Quelle est la différence entre une primitive et une dérivée ?

Ce sont deux opérations inverses. Dériver F donne une seule fonction dérivée F'. Chercher une primitive de f, c'est l'inverse : trouver F telle que F' = f. Cette fois, il existe une infinité de solutions, qui diffèrent toutes d'une constante.

Pourquoi une fonction a-t-elle une infinité de primitives ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle. Si F est une primitive de f, alors F + k l'est aussi, quel que soit le réel k, puisque (F + k)' = F'. On parle donc « d'une primitive », pas « de la primitive », sauf si une condition, par exemple F(0) = 5, fixe la valeur de k.

Faut-il toujours vérifier le signe de f avant de calculer une aire ?

Oui. La formule Aire = F(b) - F(a) ne donne l'aire directement que si f est positive ou nulle sur tout [a ; b]. Si la courbe passe sous l'axe, découpe l'intervalle aux points où f s'annule, calcule F(b) - F(a) sur chaque morceau, puis additionne les valeurs absolues.

Ce chapitre est-il vraiment au programme du baccalauréat série A ?

Oui, les primitives et le calcul d'aire font partie du programme officiel de Terminale A à Madagascar, avec des exercices réguliers à l'examen. Bien connaître le formulaire et la méthode F(b) - F(a) permet de sécuriser des points sur ce type de question.

À retenir

1. F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et F'(x) = f(x) pour tout x de I.
2. Une fonction qui admet une primitive en admet une infinité, toutes de la forme F(x) + k, k réel.
3. Formulaire de base : une primitive de xⁿ est x^{n + 1}/(n + 1) ; une primitive d'une constante a est ax ; on combine les primitives terme à terme.
4. Si f est positive sur [a ; b], l'aire délimitée par sa courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b vaut F(b) - F(a).
5. Avant tout calcul d'aire, vérifie toujours le signe de f sur l'intervalle considéré.