Logarithme népérien et exponentielle — Terminale A
En Terminale A, le logarithme népérien (noté ln) et la fonction exponentielle (notée exp) forment un couple incontournable. Elles servent à modéliser des situations de croissance ou de décroissance, comme l'évolution d'une population à Antananarivo ou la valeur d'un capital placé. Ces deux fonctions sont étroitement liées : l'une « défait » ce que l'autre fait.
Ravo, à Antsirabe, place 100 000 Ariary. La calculatrice donne ln(100000) ≈ 11,5. En appliquant l'exponentielle au résultat, on retrouve e11,5 ≈ 100 000 Ariary : exp annule bien le ln.
Les courbes de y = ex et y = ln(x) sont symétriques par rapport à la droite y = x.
À retenir
- ln est définie pour x > 0 ; exp est définie pour tout réel x.
- ln et exp sont réciproques : ln(ex) = x et eln(x) = x (x > 0).
- ln(1) = 0, ln(e) = 1, e0 = 1 et e1 = e ≈ 2,718.
- Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x.
Exercice d'exemple
Voir la correction
L'équation ln(x) = 2 n'a de sens que pour x > 0. On applique l'exponentielle aux deux membres : eln(x) = e2, donc x = e2 ≈ 7,39. Cette valeur est bien strictement positive : la solution est x = e2.
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