Les nombres complexes en Terminale C : module et argument
En Terminale C, l'ensemble C des nombres complexes prolonge celui des réels en introduisant un nombre i tel que i2 = -1. Cet outil est essentiel pour résoudre toutes les équations du second degré et pour décrire des grandeurs géométriques, notamment en physique. Dans cet échantillon, nous étudions une notion clé : le module et l'argument d'un nombre complexe, et leur lecture dans le plan complexe.
Ravo, lycéen à Antsirabe, considère z = 1 + i√3. Alors |z| = √(12 + (√3)2) = √(1 + 3) = 2, et un argument est l'angle dont le cosinus vaut 1/2 et le sinus √3/2, soit π/3.
Image M du complexe z = 1 + i√3 dans le plan : module 2, argument π/3.
À retenir
- Un nombre complexe s'écrit z = a + ib avec a, b réels et i2 = -1 ; a est la partie réelle, b la partie imaginaire.
- Le module |z| = √(a2 + b2) mesure la distance de l'image de z à l'origine O.
- Un argument de z est l'angle orienté entre l'axe des réels et le vecteur OM ; il vérifie cosθ = a/|z| et sinθ = b/|z|.
Exercice d'exemple
Voir la correction
|z| = √((-1)2 + 12) = √(1 + 1) = √2. On a cosθ = -1/√2 et sinθ = 1/√2, donc θ = 3π/4 (l'image est dans le deuxième quadrant). Un argument de z est 3π/4.
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