Les nombres complexes en Terminale C : module, argument et représentation géométrique

Depuis la classe de Première, tu sais que certaines équations, comme x² + 1 = 0, n'ont pas de solution dans l'ensemble des nombres réels ℝ. Pour résoudre ce problème, les mathématiciens ont inventé un nouvel ensemble de nombres : l'ensemble ℂ des nombres complexes. Ce nouvel outil ne remplace pas ℝ, il le prolonge : tout nombre réel est aussi un nombre complexe. Au programme de Terminale C, tu vas apprendre à manipuler ces nombres sous plusieurs formes (algébrique, trigonométrique, exponentielle), à calculer leur module et leur argument, puis à les utiliser pour résoudre des équations, simplifier des calculs de puissances ou étudier des figures géométriques. C'est un chapitre exigeant mais très logique : chaque notion s'appuie sur la précédente. Prends le temps de bien comprendre chaque définition avant d'avancer.

• Connaître les formes algébrique, trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe et savoir passer de l'une à l'autre.
• Calculer le module et un argument d'un nombre complexe non nul.
• Utiliser la formule de Moivre pour calculer efficacement une puissance d'un nombre complexe.
• Appliquer les nombres complexes à la résolution d'équations et à des situations géométriques simples.

Définitions de base

Avant de calculer quoi que ce soit, il faut maîtriser quatre notions fondamentales : la forme algébrique, le module, l'argument et le conjugué d'un nombre complexe. Prends le temps de bien fixer ce vocabulaire, car tout le chapitre repose dessus.

La forme algébrique

Un nombre complexe z s'écrit sous forme algébrique z = a + ib, où a et b sont deux nombres réels et i est un nombre imaginaire tel que i² = -1. Le nombre a est appelé partie réelle de z, noté Re(z) = a. Le nombre b est appelé partie imaginaire de z, noté Im(z) = b. Si b = 0, alors z = a est un nombre réel : tu vois donc que ℝ est inclus dans ℂ. Si a = 0 et b ≠ 0, on dit que z = ib est un imaginaire pur.

Le module

Le module de z = a + ib, noté |z|, est le nombre réel positif défini par |z| = √(a² + b²). Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, si M est le point d'affixe z, alors |z| représente tout simplement la distance OM entre l'origine et ce point.

L'argument

Pour un nombre complexe z non nul, on appelle argument de z, noté arg(z), une mesure en radians de l'angle orienté formé par l'axe des réels et le vecteur OM, où M est le point d'affixe z. L'argument θ vérifie les deux relations cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|. Il n'est défini qu'à 2π près : on écrit arg(z) ≡ θ [2π]. Attention, le nombre 0 n'a pas d'argument, car aucune direction n'est définie pour un vecteur nul.

Le conjugué

Le conjugué de z = a + ib est le nombre complexe noté z̄ (on dit « z barre »), défini par z̄ = a - ib. Géométriquement, le point d'affixe z̄ est le symétrique du point d'affixe z par rapport à l'axe des réels. Retiens surtout cette propriété très utile : z × z̄ = a² + b² = |z|².

Les trois formes d'un nombre complexe et leurs formules

Un même nombre complexe peut s'écrire de trois manières différentes. Chacune est utile pour un type de calcul précis, comme le montre le tableau suivant.

Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique, calcule d'abord r = |z| = √(a² + b²), puis détermine θ grâce à cos θ = a/r et sin θ = b/r. La forme exponentielle, elle, repose sur la formule d'Euler : e^iθ = cos θ + i sin θ. Elle simplifie énormément les calculs grâce aux propriétés suivantes, valables pour z₁ = r₁ × e^iθ₁ et z₂ = r₂ × e^iθ₂ :

• Produit : z₁ × z₂ = r₁ × r₂ × e^{i(θ₁+θ₂)}. Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.
• Quotient : z₁ / z₂ = (r₁/r₂) × e^{i(θ₁-θ₂)}. Les modules se divisent, les arguments se soustraient.
• Puissance, grâce à la formule de Moivre : zⁿ = rⁿ × e^inθ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)), pour tout entier relatif n.

Exemple concret résolu

Mettons ces formules en pratique. On considère z = 1 + i√3 et on veut calculer z⁶ sans tout développer à la main.

Étape 1, forme algébrique. On lit directement a = 1 et b = √3.

Étape 2, calcul du module. |z| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.

Étape 3, calcul de l'argument. cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. Tu dois reconnaître ici l'angle remarquable θ = π/3.

Étape 4, formes trigonométrique et exponentielle. z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 2 × e^iπ/3.

Étape 5, application de la formule de Moivre. z⁶ = 2⁶ × e^i×6×π/3 = 64 × e^i2π = 64 × (cos(2π) + i sin(2π)) = 64 × 1 = 64.

Ce résultat est net et entier : c'est tout l'intérêt de la méthode. Développer (1 + i√3)⁶ directement avec la forme algébrique demanderait un développement long et risqué, alors que la forme exponentielle donne la réponse en cinq étapes claires. Retiens ce réflexe : dès qu'un exposant devient grand, pense à la forme exponentielle.

Exercice d'application

Énoncé. On considère le nombre complexe z = -1 + i.

1. Calcule le module de z.
2. Détermine un argument de z.
3. Écris z sous forme exponentielle.
4. Déduis-en la forme algébrique de z⁴.

Correction détaillée

1) Module. Ici a = -1 et b = 1, donc |z| = √((-1)² + 1²) = √2.

2) Argument. cos θ = a/|z| = -√2/2 et sin θ = b/|z| = √2/2. Le cosinus est négatif et le sinus positif : le point se trouve dans le deuxième quadrant, ce qui correspond à θ = 3π/4.

3) Forme exponentielle. z = √2 × e^i×3π/4.

4) Calcul de z⁴. D'après la formule de Moivre : z⁴ = (√2)⁴ × e^i×4×3π/4 = 4 × e^i3π. Or e^i3π = cos(3π) + i sin(3π) = -1. Donc z⁴ = 4 × (-1) = -4.

Tu peux vérifier ce résultat autrement, en développant directement : z² = (-1 + i)² = 1 - 2i + i² = -2i, puis z⁴ = (z²)² = (-2i)² = 4i² = -4. Les deux méthodes donnent bien -4, ce qui confirme le calcul.

Erreurs fréquentes

• Confondre i² = -1 avec i = -1. C'est bien le carré de i qui vaut -1, pas i lui-même.
• Oublier que l'argument n'est défini qu'à 2π près : θ et θ + 2π représentent le même angle. Vérifie toujours dans quel intervalle la réponse est attendue.
• Se tromper de signe dans le conjugué : le conjugué de a + ib est a - ib, jamais -a + ib.
• Utiliser la forme algébrique pour calculer une puissance élevée. C'est possible, mais long et risqué : passe par la forme exponentielle dès que l'exposant dépasse 2 ou 3.
• Confondre module et argument dans l'écriture r(cos θ + i sin θ) : r est toujours un nombre positif (le module), θ est toujours un angle (l'argument).

FAQ

Pourquoi utiliser des nombres complexes si le résultat final est souvent réel ?

Parce qu'ils simplifient énormément les calculs intermédiaires, en particulier pour les puissances et les racines. En physique (électricité, ondes) comme en géométrie, on passe souvent par ℂ pour arriver plus vite à un résultat réel.

Quelle différence entre forme trigonométrique et forme exponentielle ?

Aucune différence de valeur : z = r(cos θ + i sin θ) et z = r × e^iθ désignent exactement le même nombre, grâce à la formule d'Euler. La forme exponentielle est simplement plus rapide à manipuler dans les produits, quotients et puissances.

Comment retrouver rapidement l'argument d'un nombre complexe ?

Repère d'abord le quadrant du point d'affixe z selon les signes de a et de b. Calcule ensuite cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|, puis identifie l'angle remarquable correspondant (0, π/6, π/4, π/3, π/2…) en tenant compte de ce quadrant.

La formule de Moivre fonctionne-t-elle avec un exposant négatif ?

Oui. La relation zⁿ = rⁿ × e^inθ reste valable pour tout entier relatif n. Par exemple, z^-1 = (1/r) × e^-iθ : l'inverse d'un nombre complexe non nul a pour module l'inverse du module, et pour argument l'opposé de l'argument.

À retenir

• Un nombre complexe s'écrit z = a + ib avec i² = -1 ; a = Re(z) et b = Im(z).
• Le module vaut |z| = √(a² + b²) et l'argument θ vérifie cos θ = a/|z|, sin θ = b/|z|.
• Les trois formes (algébrique, trigonométrique, exponentielle) décrivent le même nombre, mais chacune facilite un type de calcul différent.
• La formule de Moivre, zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)), est l'outil clé pour calculer efficacement une puissance d'un nombre complexe.