Les nombres complexes et leurs applications — Terminale D
Les nombres complexes prolongent l'ensemble des réels en introduisant un nombre i tel que i2 = −1. En Terminale D, ils servent à résoudre des équations sans solution réelle et à décrire des points du plan. Que tu prépares le baccalauréat à Antananarivo ou à Antsirabe, cette notion ouvre la porte à la géométrie et à la physique des ondes.
Module d'un complexe : si z = a + bi, son module est le nombre réel positif |z| = √(a2 + b2). Il mesure la distance entre l'origine O et le point M(a ; b) qui représente z.
Exemple
Ravo, élève à Antananarivo, étudie z = 3 + 4i. Il calcule |z| = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5. Le point M(3 ; 4) est donc situé à 5 unités de l'origine.
Le point M(3 ; 4) représente z = 3 + 4i ; sa distance à l'origine vaut |z| = 5.
À retenir
- Un nombre complexe s'écrit z = a + bi, avec a la partie réelle et b la partie imaginaire.
- Le module |z| = √(a2 + b2) est la distance de l'origine au point M(a ; b).
- Un argument de z est l'angle θ tel que z = |z|(cosθ + i sinθ) : c'est la forme trigonométrique.
Exercice d'exemple
Exercice : Soit z = 1 + i√3. Calcule son module |z|.
Voir la correction
|z| = √(12 + (√3)2) = √(1 + 3) = √4 = 2. Le module de z vaut donc 2.