Le nombre dérivé et la tangente — Terminale D
Le chapitre « Limites, continuité et dérivation » est au cœur de l'analyse en Terminale D. Il permet d'étudier comment une grandeur varie : la vitesse d'un taxi-be à Antananarivo, l'évolution d'un bénéfice ou la pente d'une courbe. Concentrons-nous ici sur une notion clé : le nombre dérivé.
Soit f(x) = x2. Ravo, à Antsirabe, veut la pente de la courbe en a = 3. Le taux vaut [(3 + h)2 − 9] / h = (6h + h2) / h = 6 + h. Quand h → 0, on obtient f '(3) = 6.
La tangente à la courbe de f(x) = x² au point A d'abscisse 3 a pour pente f '(3) = 6.
À retenir
- Le nombre dérivé f '(a) est la limite du taux d'accroissement [f(a + h) − f(a)] / h quand h → 0.
- f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
- L'équation de la tangente en a est : y = f '(a)(x − a) + f(a).
Exercice d'exemple
Voir la correction
On a f(3) = 9 et f '(3) = 6 (calculé plus haut). L'équation de la tangente est y = f '(3)(x − 3) + f(3) = 6(x − 3) + 9 = 6x − 18 + 9, donc y = 6x − 9.
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