Ce cours de mathématiques niveau Terminale C traite de trois notions indissociables de l'analyse : la limite, la continuité et la dérivation des fonctions. Ces outils te permettent d'étudier le comportement d'une fonction près d'un point ou lorsque la variable devient très grande, de vérifier qu'une courbe ne présente ni trou ni saut, et de calculer la pente d'une tangente en un point donné. Ce chapitre revient chaque année au Baccalauréat malgache, dans les exercices d'étude de fonctions et les problèmes d'optimisation. Tu y retrouveras aussi les bases utiles en physique (vitesse instantanée) et en économie (coût marginal). Prends le temps de maîtriser les définitions : en série C, les correcteurs valorisent une rédaction rigoureuse, avec des théorèmes cités correctement et des hypothèses vérifiées avant chaque conclusion.
- Calculer une limite en un point ou à l'infini, et lever une forme indéterminée.
- Démontrer qu'une fonction est continue en un point ou justifier un prolongement par continuité.
- Étudier la dérivabilité d'une fonction, calculer un nombre dérivé et écrire l'équation d'une tangente.
- Appliquer les formules de dérivation usuelles (somme, produit, quotient, composée).
Les limites : définitions essentielles
La limite décrit le comportement d'une fonction f quand x se rapproche d'une valeur a, ou quand x devient très grand : on observe vers quelle valeur « tend » f(x).
Limite en un point
On dit que f admet L pour limite en a, noté limx→a f(x) = L, si f(x) se rapproche autant que voulu de L dès que x est proche de a. Cas fréquent : une fonction rationnelle dont le dénominateur s'annule en a, où f n'est pas définie mais peut admettre une limite finie.
Limite à l'infini
On dit que f admet L pour limite en +∞, noté limx→+∞ f(x) = L, si f(x) se rapproche de L quand x devient très grand ; mêmes définitions en −∞, limite parfois infinie. Pour un polynôme, la limite en l'infini est celle de son terme de plus haut degré ; pour une fonction rationnelle, c'est le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
La continuité d'une fonction
Définition en un point
f est continue en a si trois conditions sont réunies : f est définie en a, f admet une limite finie en a, et cette limite vaut f(a), soit limx→a f(x) = f(a). Graphiquement, la courbe de f ne présente ni trou ni saut au point d'abscisse a.
Continuité sur un intervalle et prolongement
f est continue sur un intervalle I si elle l'est en chaque point de I. Polynômes, fonctions rationnelles sur leur ensemble de définition, racine carrée, sinus, cosinus, exponentielle et logarithme népérien sont continus sur leur domaine : un résultat à utiliser directement. Quand f n'est pas définie en a mais admet une limite finie L en a, la fonction g égale à f ailleurs, avec g(a) = L, est continue en a : g est le prolongement par continuité de f en a.
La dérivabilité : définition et sens géométrique
Nombre dérivé et taux d'accroissement
Le taux d'accroissement de f entre a et a+h est le quotient [f(a+h) − f(a)] / h. f est dérivable en a si ce taux admet une limite finie quand h→0 ; cette limite, notée f'(a), est le nombre dérivé de f en a :
f'(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h
Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a, d'équation y = f'(a)(x − a) + f(a).
Lien entre dérivabilité et continuité
Théorème : si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue en 0, mais sa courbe y présente un point anguleux (demi-tangentes de coefficients directeurs −1 à gauche et +1 à droite), donc elle n'est pas dérivable en 0. Tu la retrouveras dans l'exemple concret ci-dessous.
Méthodes et formules à maîtriser
Opérations sur les limites et formes indéterminées
La limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient combine les limites de chaque fonction, sauf dans quatre cas : les formes indéterminées, à connaître par cœur.
| Forme indéterminée | Situation typique | Méthode générale |
|---|---|---|
| ∞ − ∞ | Somme de limites infinies opposées | Factoriser par le terme de plus haut degré |
| ∞ / ∞ | Quotient de deux limites infinies | Factoriser numérateur et dénominateur par leur terme dominant |
| 0 / 0 | Numérateur et dénominateur nuls | Factoriser et simplifier (identités remarquables) |
| 0 × ∞ | Produit d'une limite nulle et d'une limite infinie | Transformer en quotient pour revenir à 0/0 ou ∞/∞ |
Dérivées des fonctions usuelles
Formules indispensables, à connaître sans hésiter :
| Fonction f | Dérivée f' | Domaine de validité |
|---|---|---|
| f(x) = k (constante) | f'(x) = 0 | ℝ |
| f(x) = xn | f'(x) = n xn−1 | ℝ |
| f(x) = 1/x | f'(x) = −1/x² | x ≠ 0 |
| f(x) = √x | f'(x) = 1 / (2√x) | x > 0 |
| f(x) = sin x | f'(x) = cos x | ℝ |
| f(x) = cos x | f'(x) = −sin x | ℝ |
| f(x) = ex | f'(x) = ex | ℝ |
| f(x) = ln x | f'(x) = 1/x | x > 0 |
Règles opératoires : (u+v)' = u'+v' ; (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv') / v² (v ≠ 0) ; pour f(x) = g(v(x)), f'(x) = v'(x) × g'(v(x)).
Exemple concret résolu : la vente de vanille dans la région Sava
Une coopérative de la région Sava, grande zone de vanille à Madagascar, paie ses producteurs selon un barème lié à la quantité x vendue, en kilogrammes. Le montant payé en ariary, f(x), est :
f(x) = 25 000x si 0 ≤ x ≤ 100, et f(x) = 30 000x − 500 000 si x > 100
Pour les 100 premiers kilos, chaque kilo vaut 25 000 Ar ; au-delà, 30 000 Ar, avec un ajustement fixe de 500 000 Ar. Étudions f en x = 100.
Continuité en 100. f(100) = 25 000 × 100 = 2 500 000. La limite à droite : 30 000 × 100 − 500 000 = 2 500 000. Les deux valeurs coïncident : f est continue en 100, sans saut dans le paiement au seuil.
Dérivabilité en 100. Pour x < 100, f'(x) = 25 000 ; pour x > 100, f'(x) = 30 000. Les coefficients directeurs diffèrent : f n'est pas dérivable en 100, comme la valeur absolue en 0. Le taux de rémunération change brutalement de pente au seuil, même si le montant total ne fait pas de saut : continue en un point n'implique pas dérivable.
Exercice à résoudre
Soit f définie sur ℝ\{1} par f(x) = (x³ − 1) / (x − 1).
- Montrer que pour tout x ≠ 1, f(x) = x² + x + 1.
- En déduire la limite de f en 1.
- On pose g(x) = x² + x + 1 sur ℝ. Justifier que g prolonge f par continuité en 1.
- Calculer g'(x) puis g'(1).
- Donner une équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 1.
- Calculer les limites de f en +∞ et en −∞.
Correction détaillée
1) Factorisation. Identité remarquable : a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), donc x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1). Comme x ≠ 1, on simplifie par (x − 1) : f(x) = x² + x + 1.
2) Limite en 1. x² + x + 1 est un polynôme, donc continu sur ℝ ; ainsi limx→1 f(x) = 1² + 1 + 1 = 3.
3) Prolongement. g est un polynôme, donc continu sur ℝ. Pour x ≠ 1, g(x) = x² + x + 1 = f(x), et g(1) = 3 = limx→1 f(x) : g est donc le prolongement par continuité de f en 1.
4) Dérivée. g'(x) = 2x + 1 (dérivée de x² : 2x ; de x : 1 ; d'une constante : 0). Donc g'(1) = 2 × 1 + 1 = 3.
5) Tangente. y = g'(1)(x − 1) + g(1) = 3(x − 1) + 3 = 3x.
6) Limites en l'infini. Pour x ≠ 1, f(x) = x² + x + 1. Le terme x² domine et un carré est toujours positif, donc limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = +∞.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre « f définie en a » et « f continue en a ». La continuité exige trois conditions réunies : existence de f(a), existence de la limite en a, et égalité des deux.
- Croire que continuité entraîne dérivabilité. C'est faux (valeur absolue en 0, barème de vanille étudié plus haut) : seule l'implication inverse est vraie.
- Appliquer les opérations sur les limites sans vérifier la forme. lim(u/v) n'égale (lim u)/(lim v) que si ce n'est pas une forme indéterminée du type 0/0 ou ∞/∞.
- Se tromper de signe en −∞ pour une puissance impaire. limx→−∞ x³ = −∞, et non +∞ : contrairement à x², le cube d'un nombre négatif reste négatif.
FAQ : questions fréquentes sur les limites, la continuité et la dérivation
Une fonction dérivable est-elle toujours continue ?
Oui, c'est un théorème : dérivable en a implique continue en a. La réciproque est fausse, comme le montrent la valeur absolue en 0 ou le barème de vanille étudié dans ce cours.
Comment reconnaître rapidement une forme indéterminée ?
Calcule séparément la limite de chaque terme. Si tu obtiens 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ ou 0 × ∞, transforme l'écriture de f(x) (factorisation, identité remarquable, quotient conjugué) avant de conclure, jamais directement.
Pourquoi ce chapitre compte-t-il autant pour le bacc série C ?
Parce qu'il conditionne presque tous les autres chapitres d'analyse : primitives, intégrales, équations différentielles. Une bonne partie du sujet de mathématiques comporte un exercice sur l'étude d'une fonction (limites, continuité, dérivée, variations, tangentes), souvent ancré dans un contexte concret.
À retenir
- limx→a f(x) = L signifie que f(x) se rapproche de L quand x se rapproche de a ; la continuité exige en plus que f soit définie en a et que f(a) = L.
- Une fonction dérivable en a est toujours continue en a, mais la réciproque est fausse (point anguleux, comme la valeur absolue en 0).
- f'(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h est le coefficient directeur de la tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).
- Face à une forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞), transforme l'écriture de f(x) avant de passer à la limite : ne conclus jamais directement.
- Connais par cœur les dérivées usuelles et les règles de somme, produit, quotient et composée : c'est la base de toute étude de fonction au bacc.