Le nombre dérivé et la tangente — Terminale OSE
En Terminale OSE, l'étude des fonctions repose sur trois piliers : les limites, la continuité et la dérivation. Parmi eux, le nombre dérivé est central : il mesure la vitesse à laquelle une grandeur varie. Pour un commerçant d'Antananarivo qui suit l'évolution de ses bénéfices, c'est exactement l'outil qui dit si la croissance s'accélère ou ralentit.
Soit f(x) = x2. Ravo veut la pente de la courbe au point d'abscisse a = 2. On calcule f'(x) = 2x, donc f'(2) = 4. La tangente au point (2 ; 4) monte donc de 4 unités quand on avance de 1 : c'est une droite raide.
La tangente touche la courbe au point A : sa pente vaut f'(2) = 4.
À retenir
- Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0.
- Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
- L'équation de la tangente en a s'écrit : y = f'(a)(x − a) + f(a).
Exercice d'exemple
Voir la correction
On a f'(x) = 2x, donc f'(2) = 4 et f(2) = 4. La tangente s'écrit y = f'(2)(x − 2) + f(2) = 4(x − 2) + 4 = 4x − 8 + 4, soit y = 4x − 4.
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