Limites, continuité et dérivation — Terminale S
En Terminale S, l'étude des fonctions repose sur trois outils complémentaires : la limite décrit le comportement d'une fonction « au bord » de son domaine, la continuité garantit une courbe sans rupture, et la dérivation mesure sa pente en chaque point. Pour un commerçant d'Antananarivo qui modélise son bénéfice, ces notions permettent de prévoir une tendance et de repérer le moment où le gain est maximal. Concentrons-nous ici sur une notion clé : le nombre dérivé.
Ravo, lycéen à Antsirabe, étudie f(x) = x2. Le taux d'accroissement entre 2 et 2+h vaut ((2+h)2 − 4)/h = 4 + h. Quand h tend vers 0, ce taux tend vers 4 : donc f '(2) = 4. La courbe « monte » avec une pente de 4 au point d'abscisse 2.
La tangente en A a pour coefficient directeur f '(a).
À retenir
- Le nombre dérivé f '(a) est la limite du taux d'accroissement (f(a+h) − f(a))/h quand h → 0.
- f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
- L'équation de la tangente en a est : y = f '(a)(x − a) + f(a).
- Une fonction dérivable en a y est forcément continue, mais la réciproque est fausse.
Exercice d'exemple
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Le taux d'accroissement entre 3 et 3+h vaut ((3+h)2 − 9)/h = (6h + h2)/h = 6 + h. Quand h → 0, on obtient f '(3) = 6. Comme f(3) = 9, la tangente a pour équation y = 6(x − 3) + 9, soit y = 6x − 9.
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