Logarithme, exponentielle et équations différentielles — Terminale S
En Terminale S, la fonction exponentielle est un outil central : elle décrit toutes les évolutions où la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. C'est le cas de la croissance d'une population, d'un capital placé à Antananarivo ou de la décroissance d'une substance radioactive. Dans cet aperçu, nous nous concentrons sur une seule notion clé : le lien entre l'exponentielle et l'équation différentielle y' = ky.
Ravo place 200 000 Ariary à Antsirabe avec un intérêt continu de 5 % par an. Le capital suit la loi C(t) = 200 000 × e0,05t. Au bout de t = 2 ans, C(2) = 200 000 × e0,1 ≈ 221 034 Ariary.
Courbe de la fonction exponentielle : toujours positive, croissante, passant par le point (0 ; 1).
À retenir
- La fonction exponentielle vérifie ex > 0 pour tout réel x et e0 = 1.
- Elle est sa propre dérivée : (ex)' = ex.
- Les solutions de l'équation différentielle y' = ky sont les fonctions y = C ekx, où C est une constante réelle.
- Le logarithme népérien ln est la fonction réciproque : ln(ex) = x et eln(a) = a pour a > 0.
Exercice d'exemple
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Les solutions de y' = ky sont y = C ekt. Ici k = 0,03, donc y(t) = C e0,03t. Comme y(0) = C × e0 = C = 50 000, on obtient y(t) = 50 000 e0,03t. Au bout de 10 ans : y(10) = 50 000 × e0,3 ≈ 50 000 × 1,3499 ≈ 67 495 habitants.
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