L'intégrale et l'aire sous la courbe — Terminale C
Le calcul intégral permet de mesurer exactement l'aire d'une surface délimitée par une courbe, même quand elle n'a pas de forme géométrique simple. C'est un outil essentiel en physique et en économie : par exemple pour estimer la quantité totale d'eau qui s'écoule d'un barrage à Andekaleka ou le volume produit par une rizière sur une saison.
Ravo, élève à Antsirabe, veut l'aire sous la courbe de f(x) = x entre x = 0 et x = 2. Une primitive est F(x) = x2/2. L'intégrale vaut F(2) − F(0) = 4/2 − 0 = 2 unités d'aire. On retrouve bien l'aire du triangle de base 2 et de hauteur 2.
Aire sous la courbe de f(x) = x entre 0 et 2 : un triangle d'aire 2.
À retenir
- Une primitive F de f vérifie F'(x) = f(x).
- L'intégrale de f entre a et b est F(b) − F(a).
- Pour une fonction positive, l'intégrale est l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, en unités d'aire.
Exercice d'exemple
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Une primitive de f(x) = 2x est F(x) = x2. L'intégrale vaut F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8 unités d'aire.
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