L'intégrale et l'aire sous la courbe — Terminale C
Le calcul intégral permet de mesurer exactement l'aire d'une surface délimitée par une courbe, même quand elle n'a pas de forme géométrique simple. C'est un outil essentiel en physique et en économie : par exemple pour estimer la quantité totale d'eau qui s'écoule d'un barrage à Andekaleka ou le volume produit par une rizière sur une saison.
Intégrale d'une fonction : si F est une primitive de f sur [a ; b], alors l'intégrale de f entre a et b vaut F(b) − F(a). On la note l'aire algébrique située entre la courbe de f et l'axe des abscisses.
Exemple
Ravo, élève à Antsirabe, veut l'aire sous la courbe de f(x) = x entre x = 0 et x = 2. Une primitive est F(x) = x2/2. L'intégrale vaut F(2) − F(0) = 4/2 − 0 = 2 unités d'aire. On retrouve bien l'aire du triangle de base 2 et de hauteur 2.
Aire sous la courbe de f(x) = x entre 0 et 2 : un triangle d'aire 2.
À retenir
- Une primitive F de f vérifie F'(x) = f(x).
- L'intégrale de f entre a et b est F(b) − F(a).
- Pour une fonction positive, l'intégrale est l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, en unités d'aire.
Exercice d'exemple
Exercice : Calculer l'intégrale de f(x) = 2x entre x = 1 et x = 3.
Voir la correction
Une primitive de f(x) = 2x est F(x) = x2. L'intégrale vaut F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8 unités d'aire.