Probabilités et loi binomiale — Terminale S
Le thème des probabilités en Terminale S regroupe les variables aléatoires, les lois de probabilité et le calcul matriciel. Ici, nous nous concentrons sur une notion centrale du programme : la loi binomiale. Elle modélise toute expérience répétée plusieurs fois dans des conditions identiques, comme contrôler des sachets de riz à Antsirabe ou interroger des élèves au hasard.
Ravo, vendeur au marché d'Analakely, sait que 20 % de ses mangues sont trop mûres (p = 0,2). Il en choisit n = 5 au hasard. Le nombre X de mangues trop mûres suit la loi binomiale B(5 ; 0,2).
Diagramme en bâtons de la loi B(5 ; 0,2) : les valeurs les plus probables sont k = 0 et k = 1.
À retenir
- Une loi binomiale B(n ; p) compte les succès de n épreuves identiques et indépendantes.
- P(X = k) = C(n, k) × pk × (1 − p)n−k, où C(n, k) est le coefficient binomial.
- L'espérance vaut E(X) = n × p et l'écart-type σ(X) = √(n × p × (1 − p)).
Exercice d'exemple
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P(X = 1) = C(5, 1) × 0,21 × 0,84 = 5 × 0,2 × 0,4096 = 0,4096, soit environ 0,41 (41 %). C'est bien la valeur la plus probable, ce que confirme le diagramme.
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