Suites numériques et raisonnement par récurrence — Terminale D
En Terminale D, les suites numériques décrivent des situations qui évoluent étape par étape : une épargne qui grossit chaque mois, une population qui augmente chaque année. Quand on veut prouver qu'une formule reste vraie pour tous les entiers, on utilise un outil puissant : le raisonnement par récurrence.
À Antsirabe, Ravo dépose 10 000 Ariary à la naissance de sa fille, puis ajoute chaque année le double de l'écart précédent. La somme Sn = 1 + 2 + 3 + … + n des n premiers entiers permet de modéliser ce cumul : on conjecture Sn = n(n+1)/2, à démontrer par récurrence.
Croissance de la somme Sn = n(n+1)/2 pour n de 1 à 5.
À retenir
- Une démonstration par récurrence comporte toujours deux étapes : l'initialisation et l'hérédité.
- L'hérédité suppose P(n) vraie (hypothèse de récurrence) pour en déduire P(n+1).
- Si une seule des deux étapes manque, la démonstration n'est pas valable.
- La somme des n premiers entiers vaut Sn = n(n+1)/2.
Exercice d'exemple
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Initialisation (n = 1) : le membre de gauche vaut 1, le membre de droite vaut 1×(1+1)/2 = 2/2 = 1. L'égalité est vraie. Hérédité : supposons 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2. Alors 1 + 2 + … + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2. C'est bien la formule au rang n+1. Conclusion : la propriété est vraie pour tout n ≥ 1.
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