Suites numériques et raisonnement par récurrence — Terminale S
En Terminale S, les suites numériques permettent de modéliser des situations qui évoluent étape par étape : une épargne qui grossit chaque mois, une population qui augmente chaque année. Le raisonnement par récurrence est l'outil qui sert à démontrer qu'une propriété reste vraie pour tous les entiers, aussi loin qu'on aille. C'est une démarche essentielle pour le baccalauréat.
À Antsirabe, Ravo place 100 000 Ariary sur un compte rapportant 5 % par an. Chaque année, le capital est multiplié par 1,05 : c'est une suite géométrique de raison 1,05. Au bout de n années, il possède un = 100 000 × 1,05n Ariary.
Suite géométrique croissante un = 100 000 × 1,05n : le capital augmente de plus en plus vite.
À retenir
- Suite arithmétique : un+1 = un + r, terme général un = u0 + n×r.
- Suite géométrique : un+1 = q × un, terme général un = u0 × qn.
- Une récurrence comporte toujours deux étapes : l'initialisation et l'hérédité, jamais l'une sans l'autre.
Exercice d'exemple
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Initialisation : pour n = 0, u0 = 1 et 3×0 + 1 = 1, donc la propriété est vraie au rang 0. Hérédité : supposons un = 3n + 1. Alors un+1 = un + 3 = (3n + 1) + 3 = 3n + 4 = 3(n+1) + 1. La propriété est donc vraie au rang n+1. Par récurrence, un = 3n + 1 pour tout entier n ≥ 0.
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