Phénomènes périodiques : fonctions sinusoïdales et vecteur de Fresnel — Terminale A
Beaucoup de phénomènes se répètent dans le temps : le balancement d'un pendule, la tension du courant alternatif qui alimente les maisons d'Antananarivo, ou les vibrations d'une corde de valiha. On les décrit avec une fonction sinusoïdale. La maîtriser permet de comprendre l'électricité et le son au quotidien.
Fonction sinusoïdale : grandeur qui varie au cours du temps selon u(t) = Um sin(ωt + φ), où Um est l'amplitude, ω la pulsation (en rad/s) et φ la phase à l'origine.
Exemple
Chez Ravo, à Antsirabe, la prise délivre une tension alternative de fréquence f = 50 Hz. La période est donc T = 1/f = 1/50 = 0,02 s : la tension fait un aller-retour complet toutes les 20 millisecondes.
Courbe d'une tension sinusoïdale : amplitude Um et période T.
À retenir
- Une fonction sinusoïdale s'écrit u(t) = Um sin(ωt + φ) ; Um est l'amplitude, ω la pulsation, φ la phase à l'origine.
- La période T est la durée d'un motif complet ; la fréquence f = 1/T se mesure en hertz (Hz).
- La pulsation relie le tout : ω = 2π/T = 2πf, exprimée en rad/s.
- Le vecteur de Fresnel représente une grandeur sinusoïdale par un vecteur de longueur Um tournant à la vitesse ω.
Exercice d'exemple
Exercice : Une tension sinusoïdale a une fréquence f = 50 Hz. Calcule sa période T puis sa pulsation ω.
Voir la correction
Période : T = 1/f = 1/50 = 0,02 s. Pulsation : ω = 2πf = 2 × 3,14 × 50 ≈ 314 rad/s.